Три закона ньютона для поступательного движения. Основной закон динамики поступательного движения

1. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Масса, импульс, сила. Уравнение движения материальной точки.

2. Понятие замкнутой системы. Закон сохранения импульса. Центр масс механической системы, закон движения центра масс.

3. Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

Цели:

· ввести понятия инерциальной и неинерциальной систем отсчета, массы, импульса, силы, замкнутой системы;

· изучить законы Ньютона;

· вывести и сформулировать закон сохранения импульса;

· описать движение тел переменной массы;

· вывести уравнение Мещерского и формулу Циолковского.

Литература:

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов - М.: Academia, 2006, 2007 и 2008.

2. Грабовский Р. И. Курс физики [Электронный ресурс]: учебное пособие / Р. И. Грабовский - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2012.

3. Зисман Г. А. Курс общей физики [Электронный ресурс]: [учебное пособие для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим, естественнонаучным и педагогическим направлениям и специальностям]: В 3-х т. / Г. А. Зисман, О. М. Тодес - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2007- Т. 2: Электричество и магнетизм.

4. Ливенцев Н.М. Курс физики [Электронный ресурс]: учебное пособие - СПб: Лань, 2012.

5. Бабаев В.С., Легуша Ф.Ф. Корректирующий курс физики [Электронный ресурс] - СПб: Лань, 2011.

6. Калашников Н. П. Основы физики: учебник для вузов: в 2-х т / Н. П. Калашников, М. А. Смондырев - М.: Дрофа, 2007.

7. Рогачев Н. М. Курс физики [Электронный ресурс]: [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся в области техники и технологий] / Н. М. Рогачев - Санкт-Петербург [и др.]: Лань, 2010.

8. Александров И.В. и др. Современная физика [Электронный ресурс]: учебное пособие для студентов всех форм обучения, обучающихся по техническим и технологическим направлениям и специальностям - Уфа: УГАТУ, 2008.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона : всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние . Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью . Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции .

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета . Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведаны в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловленные ее неинерциальностью (Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца), при решении многих задач пренебрежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т.е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая ее инерционные (инертная масса ) и гравитационные (гравитационная масса ) свойства. В настоящее время можно считать доказанным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 –12 их значения).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил). В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - от­вечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F (т = const) . (6.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

а ~ 1/т (F = const) . (6.2)

Используя выражения (6.1) и (6.2) и учитывая, что сила и ускорение-величины векторные, можем записать

а = kF/m. (6.3)

Соотношение (6.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

(6.4)

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (6.4) ее можно внести под знак производной:

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материаль­ной точки.

Подставляя (6.6) в (6.5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона : скорость изме­нения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (6.7) называется уравнением движения материальной точки .

Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с 2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг×м/с 2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенст­ва нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (6.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (6.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач. Например, на рис. 10 действующая сила F=m a разложена на два компонен­та: тангенциальную силу F t , (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу F n (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения и , а также , можно записать:

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим зако­ном Ньютона : всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

F 12 = – F 21 , (7.1)

где F 12 - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй;

F 21 - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и явля­ются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осуществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Силы трения

Обсуждая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением. Однако в меха­нике мы будем рассматривать различные силы: трения, упругости, тяготения.

Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедля­ет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существова­нием силы трения , которая препятствует скольжению соприкасающихся тел друг относительно друга. Силы трения зависят от относительных скоростей тел. Силы трения могут быть разной природы, но в результате их действия механическая энергия всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел.

Различают внешнее (сухое) и внутреннее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения , качения или верчения .

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазоч­ной прослойки »0,1 мкм и меньше).

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей; в случае же очень гладких поверх­ностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рис. 11), к которому приложена горизон­тальная сила F. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения F тр. Французские физики Г. Амонтон (1663-1705) и Ш. Кулон (1736-1806) опытным путем установили следующий закон : сила трения скольжения F тр пропорциональна силе N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = f N ,

где f - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициента трения. Если тело находится на наклонной плоско­сти с углом наклона a (рис.12), то оно приходит в движение, только когда тангенциаль­ная составляющая F силы тяжести Р больше силы трения F тр. Следовательно, в пре­дельном случае (начало скольжения тела) F =F тр. или P sin a 0 = f N = f P cos a 0 ,откуда

f = tga 0 .

Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла a 0 , при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости.

Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения

F тр = f ист (N + Sp 0) ,

где р 0 - добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частицами; S - пло­щадь контакта между телами; f ист - истинный коэффициент трения скольжения.

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д.

В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьша­ется примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внут­ренним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольже­ния трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном:

F тр =f к N/r , (8.1)

где r - радиус катящегося тела; f к - коэффициент трения качения, имеющий размер­ность dim f к =L. Из (8.1) следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Закон сохранения импульса. Центр масс

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп­ность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой . Силы взаимодействия между материальными точками механичес­кой системы называются - внутренними . Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними . Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной ). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и проти­воположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m 1 , m 2 , .... m n , и v 1 , v 2 ,..., v n . Пусть - равнодейст­вующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a - равно­действующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

Складывая почленно эти уравнения, получаем

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

(9.1)

где - импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справедлив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выпол­няется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон сохранения импуль­са - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса является следствием определенного свойства симмет­рии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что, согласно (9.1), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея-Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С ,положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен

где m i и r i - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m i v i , a есть импульс р системы, можно написать

т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим

(9.3)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собойзакон движения центра масс.

В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т - dm, а скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

(учли, что dm dv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt , поэтому

(10.1)

Второе слагаемое в правой части (10.1) называютреактивной силой Fp. Если u про­тивоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.

Таким образом, мы получилиуравнение движения тела переменной массы

которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказы­валась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К. Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отече­ственной космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относитель­но ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в на­чальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m 0 , то С = u ln(m 0). Следовательно,

v = u ln (m 0 /m ). (10.3)

Это соотношение называетсяформулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m 0 ; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.

Контрольные вопросы

Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени. Если тело движется поступательно, то для описания его движения достаточно описать движение произвольной его точки (например, движение центра масс тела).

Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряжённых дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, положение которого может меняться во времени. В пределе и прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой равен бесконечности.

В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.

Поступательно движется, например, кабина лифта. Также, в первом приближении, поступательное движение совершает кабина колеса обозрения. Однако, строго говоря, движение кабины колеса обозрения нельзя считать поступательным.

Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел

Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Рассматривая действие различных сил на данную материальную точку (тело), то ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей данных приложенных сил:

При действии одинаковой силы на тела с различными массами ускорения тел оказываются различными, а именно

Учитывая (1) и (2) и то, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

Соотношение (3) есть второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В системе измерений СИ коэффициент пропорциональности k= 1. Тогда

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике постоянна, в выражении (4) массу можно внести под знак производной:

Векторная величина

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.Подставляя (6) в (5), получим

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Основные характеристики поступательного движения:

1.путь - любое движение вдоль траектории

2.перемещение – самый короткий путь.

А также сила, импульс, масса, скорость, ускорении и т.д.

Число степеней свободы - это минимальное число координат (параметров), задание которых полностью определяет положение физической системы в пространстве.

В поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость и ускорение.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) - один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота. Он является следствием из второго и третьего законов Ньютона.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел - от планет и звезд до атомов и элементарных частиц - показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.

Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

P-Импульс

(с векторами)

14. Различия вращательного и поступательного движения. Кинематика вращательного движения . Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Поступательное движение - это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.[ Между движением твердого тела вокруг неподвижной оси и движением отдельной материальной точки (или поступательным движением тела) существует тесная и далеко идущая аналогия. Каждой линейной величине из кинематики точки соответствует подобная величина из кинематики вращения твердого тела. Координате s соответствует угол φ , линейной скорости v - угловая скорость w , линейному (касательному) ускорению а - угловое ускорение ε . Сравнительные параметры движения:

Поступательное движение	Вращательное движение
Перемещение S	Угловое перемещение φ
Линейная скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
	Момент инерции I
	Момент импульса
	Момент силы M

Работа:	Работа:
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия
Закон сохранения импульса (ЗСИ)	Закон сохранения момента импульса (ЗСМИ)

При описании вращательного движения твердого тела относительно неподвижной в данной системе отсчета принято использовать векторные величины особого рода. В отличие от рассмотренных выше полярных векторов r (радиус-вектор), v (скорость), a (ускорение), направление которых естественным образом вытекает из природы самих величин, направление векторов, характеризующих вращательное движение, совпадает с осью вращения, поэтому их называют аксиальными (лат. axis – ось).

Элементарный поворот dφ – аксиальный вектор, модуль которого равен углу поворота dφ, а направление вдоль оси вращения ОО" (см. рис. 1.4) определяется правилом правого винта. (угол вращения твердого тела).

Рис.1.4. К определению направления аксиального вектора

Линейное перемещение dr произвольной точки А твердого тела связано с радиусом-вектором r и поворотом dφ соотношением dr=rsinα dφ или в векторном виде через векторное произведение:

dr= (1.9)

Соотношение (1.9) справедливо именно для бесконечно малого поворота dφ.

Угловая скорость ω – аксиальный вектор, определяемый производной вектора поворота по времени:

Вектор ω, как и вектор dφ, направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис.1.5).

Рис.1.5. К определению направления вектора

Угловое ускорение β – аксиальный вектор, определяемый производной вектора угловой скорости по времени:

β=dω/dt=d2φ/dt2=ω"=φ""

При ускоренном движении вектор β по направлению совпадает с ω (рис. 1.6,а), а при замедленном - векторы β и ω направлены противоположно друг другу (рис. 1.6,б).

Рис.1.6. Связь между направлениями векторов ω и β

Важное замечание: решение всех задач на вращение твердого тела вокруг неподвижной оси по форме аналогично задачам на прямолинейное движение точки. Достаточно заменить линейные величины x, vx, ax на соответствующие им угловые φ, ω и β, и мы получим уравнения, аналогичные (1.6) -(1.8).

Период обращения-

(Время, за которое тело совершает один оборот)

Частота(количество оборотов за единицу времени)-

Продифференцировав момент импульса по времени, получим основное уравнение динамики вращательного движения, известное как второй закон Ньютона для вращательного движения, формулируемый следующим образом: скорость изменения момента импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту всех внешних сил M , приложенных к телу, относительно этой точки:

d L /dt = M (14)

Так как момент импульса вращающегося тела прямо пропорционален угловой скорости  вращения, а производная d /dt есть угловое ускорение  , то это уравнение может быть представлено в виде

J  = M (15)

где J – момент инерции тела.

Уравнения (14) и (15), описывающие вращательное движение тела, по своему содержанию аналогичны второму закону Ньютона для поступательного движения тел (m a = F ). Как видно, при вращательном движении в качестве силы F используется момент силы M , в качестве ускорения a – угловое ускорение  , а роль массы m , характеризующей инерционные свойства тела, играет момент инерции J .

Момент инерции

Момент инерции твердого тела определяет пространственное распределение массы тела и является мерой инертности тела при вращательном движении. Для материальной точки, или элементарной массы m i , вращающейся вокруг оси, введено понятие момента инерции, который представляет собой скалярную величину, численно равную произведению массы на квадрат расстояния r i до оси:

J i = r i 2 m i (16)

Момент же инерции объемного твердого тела есть сумма моментов инерции составляющих его элементарных масс:

Для однородного тела с равномерно распределенной плотностью = m i /V i (V i – элементарный объем) можно записать:

или, в интегральной форме (интеграл берется по всему объему):

J =  ∫ r 2 dV (19)

Использование уравнения (19) позволяет рассчитать моменты инерции однородных тел различной формы относительно любых осей. Наиболее простой результат, однако, получается при расчете моментов инерции однородных симметричных тел относительно их геометрического центра, который в данном случае является центром масс. Рассчитанные таким образом моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 1.

Момент инерции тела относительно любой оси можно найти, зная собственный момент инерции тела, т.е. момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс, используя теорему Штейнера. Согласно ей момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J 0 относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния r между осями:

J = J 0 + m r 2 (20)

Ось, при вращении тела вокруг которой, не возникает момент силы, стремящийся изменить положение оси в пространстве, называется свободной осью данного тела. У тела любой формы существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, проходящие через его центр масс, которые называются главными осями инерции тела. Собственные моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции.

Таблица 1.

Моменты инерции некоторых однородных тел (с массой m ) правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс

Тело	Расположение оси (указано стрелкой)	Момент инерции
Шар радиуса r		2mr 2 /5 (ф1)
Обруч радиуса r		mr 2 (ф2)
Диск радиуса r при толщине, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом		mr 2 /4 (ф3)
		mr 2 /2 (ф4)
Сплошной цилиндр радиуса r с высотой l		mr 2 /2 (ф5)
		mr 2 /4 + ml 2 /12 (ф6)
Полый цилиндр с внутренним радиусом r и толщиной стенок d		m [(r + d ) 2 + r 2 ]/2 (ф7)
Тонкий стержень длиной l		ml 2 /12 (ф8)
Прямоугольный параллелепипед со сторонами a , b и c		m (a 2 + b 2)/2 (ф9)
Куб с длиной ребра a		ma 2 /6 (ф10)

Описание установки и принципа измерений:

Установка, используемая в настоящей ра­боте для изучения основных закономерностей динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, называется маятни­ком Обербека. Общий вид установки показан на рисунке 4.

Основным элементом установки, осуществляющим вращательное движение вокруг оси, перпенди­кулярной плоскос­ти рисунка, является крестовина1 , состоящая из четырех ввинченных в шкив 2 под прямым углом друг к другу стержней (спиц), на каждый из которых надет свободно пере­мещаемый вдоль стержня ци­линдрический гру­з 3 массой , закрепляемый в нужном положе­нии винтом4 . Вдоль всей длины спиц с сантиметровым интер­валом нанесены поперечные нарезки, с помощью которых можно легко отсчи­тать расстоя­ния от центра расположения грузов до оси вращения. Пере­мещением грузов достигается изменение момента инерции J всей крестовины.

Вращение крестовины происходит под действием силы натяжения (силы уп­ругости) нити 5 , закрепленной одним своим концом в каком-либо одном из двух шкивов (6 , или 7 ), на который при вращении крестовины она наматывается. Другой конец нити с прикрепленным к нему гру­зом P 0 8 переменной массы m 0 перекидывается через неподвижный блок 9 , который меняет направление вращающей силы натяжения, сов­падающей с касательной к соответствующему шкиву. Использование од­ного из двух шкивов, различающихся радиусами, позволяет изменять плечо вращающей силы, а, следовательно, и ее момент M .

Проверка различных закономерностей вращательного движения в данной работе сводится к измерению времени t опускания груза с высоты h .

Для определения высоты опускания груза на маятнике Обербека служит миллиметровая шкала 10 , прикрепленная к вертикальной стойке 11 . Величина h соответствует расстоянию между рисками, одна из которых нанесена на верхнем подвижном кронш­тейне 12 , а другая – на нижнем кронштейне 13 , укреп­ленном неподвижно в стойке 11 . Подвижный кронштейн можно, перемещая вдоль стойки, фиксировать в любом нужном положении, задавая высоту опускания груза.

Автоматическое измерение времени опускания груза осуществляется с помощью электронного миллисекундомера, цифровая шкала которого 14 расположена на передней панели, и двух фотоэлектрических датчиков, один из которых 15 закреплен на верхнем кронштейне, а другой 16 – на нижнем неподвижном кронштейне. Датчик 15 подает сигнал запуска электронного секундомера при начале движения груза от его верхнего положения, а датчик 16 при достижении грузом нижнего положения подает сигнал, который останавливает секундомер, фиксируя время t прохождения грузом расстояния h , и одновременно включает расположенный за шкивами 6 и 7 тормозной электромагнит, останавли­вающий вращение крестовины.

Упрощенная схема маятника представлена на рисунке 5.

На грузP 0 действуют постоянные силы: сила тяжести mg и сила натяжения нити T , под действием которых груз движется вниз равноуско­ренно с ускорением a . Шкив радиуса r 0 под действием силы натяжения нити T вращается с угловым ускорением , при этом тангенциальное ускорение a t край­них точек шкива будет равно ускорению a опускающегося груза. Ускорения a и  связаны соотношением:

a = a t = r 0 (21)

Если время опускания груза P 0 обозначить через t , а пройден­ный им путь через h , то по закону равноускоренного движения при начальной скорости, равной 0, ускорение a может быть найдено из соотношения:

a = 2h /t 2 (22)

Измерив штангенциркулем диаметр d 0 соответствующего шкива, на который намотана нить, и вычислив его радиус r o , из (21) и (22) можно рассчитать угловое ускорение вращения крестовины:

 = a /r 0 = 2h /(r 0 t 2) (23)

Когда привязанный к нити груз опускается, двигаясь равноускоренно, нить разматывается и приводит маховик в равноускоренное вращательное движение. Сила, вызывающая вращение тела, есть сила натяжения нити. Ее можно определить из следующих соображений. Поскольку, согласно второму закону Ньютона, произведение массы движущегося тела на его ускорение равно сумме действующих на тело сил, то в данном случае на подвешенное на нити и опускающееся с равномерным ускорением a тело массой m 0 действуют две силы: вес тела m 0 g , направленный вниз, и сила натяжения нити T , направленная вверх. Поэтому имеет место соотношение:

m 0 a = m 0 g – T (24)

T = m 0 (g – a ) (25)

Следовательно, вращающий момент будет равен:

M = Tr 0 = (m 0 g – m 0 a )r 0 (26)

где r 0 – радиус шкива.

Если пренебречь силой трения диска об ось крестовины, то мож­но считать, что на крестовину действует только момент M силы натяжения нити T . Поэтому, воспользовавшись вторым законом Ньютона для вращательного движения (13), можно рассчитать мо­мент инерции J крестовины с вращающимися на ней грузами с учетом (16) и (19) по формуле:

J = M / = m 0 (g – a )r 0 2 t 2 /2h (27)

или, подставляя выражение для a (15):

J = m 0 r 0 2 (t 2 g /2h – 1) (28)

Полученное уравнение (28) является точным. В то же время, проделав опыты по определению ускорения движения груза P 0 , можно убедиться, что a << g , и поэтому в (27) значение (g – a ), пренебрегая величиной a , можно принять равным g . Тогда выражение (27) примет вид:

J = M / = m 0 r 0 2 t 2 g /2h (29)

Если величины m 0 , r 0 и h в ходе проведения опытов не меняются, то между моментом инерции крестовины и временем опускания груза имеется простая квадратичная зависимость:

J = Kt 2 (30)

где K = m 0 r 0 2 g /2h . Таким образом, измерив время t опускания груза массой m 0 , и зная высоту его опускания h , можно рассчитать момент инерции крестовины, состоящей из спиц, шкива, в котором они закреплены, и грузов, находящихся на крестовине. Формула (30) позволяет проверить основные закономерности динамики вращательного движе­ния.

Если момент инерции тела постоянен, то разные вращающие моменты М 1 и М 2 сообщат телу разные угловые ускорения ε 1 и ε 2 , т.е. будем иметь:

M 1 = J ε 1 , M 2 = J ε 2 (31)

Сравнивая эти выражения, получаем:

M 1 /M 2 = ε 1 /ε 2 (32)

С другой стороны, один и тот же вращающий момент сообщит телам с разными моментами инерции различные угловые ускорения. Действительно,

M = J 1 ε 1 , M = J 2 ε 2 (33)

J 1 ε 1 = J 2 ε 2 , или J 1 /J 2 = ε 1 /ε 2 (34)

Порядок выполнения работы:

Задание 1 . Определение момента инерции крестовины и проверка зависимости углового ускорения от момента вращающей силы.

Задание выполняется с крестовиной без надетых на нее грузов.

Выберите и установите высоту h опускания груза m 0 путем перемещения верхнего подвижного кронштейна 12 (высота h может быть задана преподавателем). Значение h занесите в таблицу 2.

Измерьте штангенциркулем диаметр выбранного шкива и найдите его радиус r 0 . Значение r 0 занесите в таблицу 2.

Выбрав наименьшее значение массы m 0 , равное массе подставки, на которую надеваются дополнительные грузы, намотайте нить на выбранный шкив так, чтобы груз m 0 был под­нят на высоту h . Измерьте три раза время t 0 опускания этого груза. Данные запишите в таблицу 2.

Повторите предыдущий опыт, для различных (от трех до пяти) масс m 0 опускающегося груза, учтя массу подставки, на которую одеваются грузы. Массы подставки и грузов указаны на них.

После каждого опыта проведите следующие расчеты (занося их результаты в таблицу 2):

1. рассчитайте среднее время опускания груза t 0 ср. и, используя его, по формуле (22) определите линейное ускорение грузов a . С таким же ускорением движутся точки на поверхности шкива;

   зная радиус шкива r 0 , по формуле (23) найдите его угловое ускорение ε;

   используя полученное значение линейного ускорения a по формуле (26) найдите вращающий момент М ;

   на основе полученных значений ε и M вычислите по формуле (29) момент инерции маховика J 0 без грузов на стержнях.

По результатам всех опытов рассчитайте и занесите в таблицу 2 среднее значение момента инерции J 0,ср. .

Для второго и последующих опытов рассчитайте, занося результаты расчетов в таблицу 2, отношения ε i /ε 1 и М i /M 1 (i – номер опыта). Проверьте правильность соотношения М i /M 1 = ε 1 /ε 2 .

По данным таблицы 2 для какой-нибудь одной строки рассчитайте погрешности измерений момента инерции по формуле:

 J = J 0 /J 0, ср. = m 0 /m 0 + 2r 0 /r 0 + 2t /t ср. + h /h ; J 0 =  J J 0,ср.

Значения абсолютных погрешностей r , t , h считайте равными приборным погрешностям; m 0 = 0,5 г.

Таблица 2.

Постоянные в данном задании параметры установки, используемые в расчетах:

r 0 , м

m 0 , кг

t 0 , с

t 0ср. , с

a , м/с 2

J 0 , кгм 2

J 0,ср. , кгм 2

J 0 , кгм 2

M i /M 1

Задание 2 . Проверка зависимости углового ускорения от величины момента инерции при неизменном вращающем моменте.

Крестови­на состоит из четырех спиц (стержней), четырех грузов и двух шкивов, насажен­ных на ось вращения. Так как массы шкивов малы и близко расположены к оси вращения, мож­но считать, что момент инерции J всей крестовины равен сумме мо­ментов инерции всех стержней (т.е. момента инерции крестовины без грузов J 0) и моментов инерции всех грузов, находящихся на стрежнях J гр, т.е.

J = J 0 + J гр (35)

Тогда момент инерции грузов относительно оси вращения ра­вен:

J гр = J – J 0 (36)

Обозначив момент инерции крестовины с грузами, находящимися на расстоянии r 1 от оси вращения через J 1 , а соот­ветствующий момент инерции самих грузов через J гр1 , перепишем (36) в виде:

J гр1 = J 1 – J 0 (37)

Аналогично для грузов, расположенны­х на расстоянии r 2 от оси вращения:

J гр2 = J 2 – J 0 (38)

Учитывая приближенное соотношение (30), имеем:

J гр 1 = Kt 1 2 – Kt 0 2 = K (t 1 2 – t 0 2) и J гр 2 = Kt 2 2 – Kt 0 2 = K (t 2 2 – t 0 2) (39)

где t 1 – время опускания груза m 0 для случая, когда грузы на стержнях укреплены на расстоянии r 1 от оси вращения; t 2 – время опускания груза m 0 при закреплении грузов на стержнях на расстоянии r 2 от оси вращения; t 0 – время опускания груза m 0 при вращении крестовины без грузов.

Отсюда следует, что отношение моментов инерции грузов, находя­щихся на разных расстояниях от оси вращения, связано с временными характеристиками процесса опускания груза m 0 в виде:

J гр 1 /J гр 2 = (t 1 2 – t 0 2)/(t 2 2 – t 0 2) (40)

С другой стороны, приняв приближенно 4 груза, находящиеся на крестовине, за точечные массы m , можно считать, что:

J гр 1 = 4mr 1 2 и J гр 2 = 4mr 2 2 , (41)

J гр1 /J гр2 = r 1 2 /r 2 2 (42)

Совпадение правых частей уравнений (40) и (42) могло бы служить экспериментальным подтверждением наличия прямой пропорциональной зависимости момента инерции материальных точек от квадрата их расстояния до оси вращения. На самом деле оба соотношения (40) и (42) являются приблизительными. Первое из них получено в предположении, что ускорением a опускания груза m 0 можно пренебречь в сравнении с ускорением свободного падения g , и, кроме того, при его выводе не учтен момент сил трения шкивов об ось и момент инерции всех шкивов относитель­но оси вращения. Второе относится к точечным массам (т.е. массам тел, размерами которых можно пре­небречь по сравнению с их расстоянием до центра вращения), каковыми цилиндрические грузы не являются, и поэтому, чем дальше от оси вращения они находятся, тем точнее выполняется соотношение (42). Этим и можно объяснить некоторое расхождение результатов, по­лучаемых экспериментально, с теорией.

Для проверки зависимости (42) проделайте опыты в следую­щей последовательности:

Закрепите 4 груза на стержнях ближе к их концам на одинаковом расстоянии от шкива. Определите и запишите в таблицу 3 расстояние r 1 от оси вращения до центров масс грузов. Оно определяется по формуле: r 1 = r ш + l + l ц /2, где r ш – радиус шкива, на котором закреплены стержни, l – расстояние от груза до шкива, l ц – длина цилиндрического груза. Диаметр шкива и длину грузов измерьте штанген­циркулем.

Измерьте три раза время t 1 опускания груза m 0 и рассчитайте среднее значение t 1ср. . Опыт проделайте для тех же масс m 0 , что и в задании 1. Данные запишите в таблицу 3.

Сдвиньте грузы на спицах к центру на произвольное, одина­ковое для всех спиц расстояние r 2 < r 1 . Вычислите это расстояние (r 2) с учетом замечаний в п. 1 и запишите в таблицу 3.

Измерьте три раза время t 2 опускания груза m 0 для этого слу­чая. Рассчитайте среднее значение t 2ср. , повторите опыт для тех же масс m 0 , как и в п. 2 и запишите полученные данные в таблицу 3.

Перенесите из таблицы 2 в таблицу 3 значения t 0ср. , полученные в предыдущем задании для соответствующих значений m 0 .

Для всех значений m 0 , используя имеющиеся средние значения t 0 , t 1 и t 2 , по формуле (40) рассчитайте величину b , равную отношению моментов инерции грузов, находящихся на разных расстояниях от оси вращения: b = J гр.1 /J гр.2 , и определите b ср. . Результаты запишите в таблицу 3.

По данным любой одной строки таблицы 3 рассчитайте пог­решность, допущенную при определении отношения (40), пользуясь правилами нахождения погрешностей при косвенных измерениях:

 b = b /b ср. = 2t (t 1 + t 0)/(t 1 2 – t 0 2) + 2t (t 2 + t 0)/(t 2 2 – t 0 2); b =  b b ср.

Рассчитайте значение отношения r 1 2 /r 2 2 и запишите в таблицу 3. Сравните это отношение со значением b ср. и проанализируйте некоторые расхождения в пределах погреш­ности опыта полученных результатов с теорией.

Таблица 3.

m 0 , кг

r 1 , м

t 1 , с

t 1ср. , с

r 2 , м

t 2 , с

t 2ср. , с

t 0ср. , с

r 1 /r 2

Задание 3 . Проверка формул для моментов инерции тел правильной формы.

Теоретически рассчитанные формулы для определения собственных моментов инерции различных однородных тел правильной формы, т.е. моментов инерции относительно осей, проходящих через центры масс этих тел, приведены в таблице 1. В то же время, пользуясь полученными в заданиях 1 и 2 экспериментальными данными (таблицы 2 и 3) можно рассчитать собственные моменты инер­ции таких тел правильной формы, как грузы, надеваемые на стержни крестовины, а также сами стержни, и сравнить полученные значения с теоретическими значениями.

Так, момент инерции четырех грузов, находящихся на расстоянии r 1 от оси вращения, можно рассчитать на основе экспериментально определенных величин t 1 и t 0 по формуле:

J гр1 = K (t 1 2 – t 0 2) (43)

Коэффициент K в соответствии с введенным в (23) обозначением составляет

K = m 0 r 0 2 g /2h (44)

где m 0 – масса опускающегося груза, подвешенного на нити; h – высота его опускания; r 0 – радиус шкива, на который наматывается нить; g – ускорение свободного падения (g = 9,8 м/с 2).

Рассматривая грузы, надетые на спицы, как однородные цилиндры с массой m ц и учитывая правило аддитивности моментов инерции, можно считать, что момент инерции одного такого цилиндра, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной его оси вращения и расположенной на расстоянии r 1 от его центра масс, составляет

J ц1 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 (45)

По теореме Штейнера этот момент инерции является суммой момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс цилиндра перпендикулярно его оси вращения J ц0 , и значения произведения m ц r 1 2:

J ц1 = J ц0 + m ц r 1 2 (46)

J ц 0 = J ц 1 – m ц r 1 2 = K (t 1 2 – t 0 2)/4 – m ц r 1 2 (47)

Таким образом, мы получили формулу для экспериментального определения собственного момента инерции цилиндра относительно оси, перпендикулярной его оси вращения.

Аналогично, момент инерции крестовины, т.е. всех спиц (стержней), можно рассчитать по формуле:

J 0 = Kt 0 2 (48)

где коэффициент K определяется так же, и в предыдущем случае.

Для одного стержня, соответственно:

J ст = Kt 0 2 /4 (49)

Воспользовавшись теоремой Штейнера (здесь m ст – масса стержня, r ст – расстояние от его середины до оси вращения и J ст0 – собственный момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси):

J ст = J ст0 + m ст r ст 2 (50)

и учитывая, что один из концов стержня находится на оси вращения, т.е. r ст составляет половину его длины l ст, мы получаем формулу для экспериментального определения момента инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр масс:

J ст0 = J ст – m ст l ст 2 /4 = (Kt 0 2 – m ст l ст 2)/4 (51)

Для проверки соответствия значений собственных моментов инерции однородных тел правильной формы, полученных экспериментально и рассчитанных теоретически, воспользуйтесь данными заданий 1 и 2 и проведите следующие операции:

В таблицу 4 перенесите из таблицы 2 значения r 0 , h и m 0 .

Для всех, использовавшихся в заданиях 1 и 2, значений m 0 рассчитайте значения K и запишите их в таблицу 4.

Значения t 1ср. и t 0ср. из таблицы 3 для соответствующих значений m 0 перенесите в таблицу 4 (в столбцы t 1 и t 0).

Занесите в таблицу 4 значение массы груза-цилиндра m ц (написано на грузе) и перенесите в нее из таблицы 3 значение r 1 .

По формуле (47) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра J ц0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ц0 (э‑с) экспериментальное значение.

Измерьте штангенциркулем длину l ц и диаметр d ц груза-цилиндра. Запишите в таблицу 4 значения l ц и r ц = d ц /2.

Используя значения l ц, r ц, и m ц, по формуле (ф6) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно оси симметрии цилиндра.

Измерьте полную длину стержня, учитывая, что l ст = r ш + l , где r ш – радиус шкива, на котором укреплены стержни, и l – расстояние от конца стержня до шкива (l ст можно определить и как половину измеренного расстояния между концами двух противоположно направленных стержней). Запишите значения l ст и массы стержня m ст = 0,053 кг в таблицу 4.

По формуле (51) для разных значений m 0 рассчитайте экспериментальные значения момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню J ст0 (э), и запишите их в таблицу 4. Рассчитайте и запишите среднее J ст0 (э‑с) экспериментальное значение.

Используя значения l ст и m ст, по формуле (ф8) из таблицы 1 рассчитайте J ц0 (т) – теоретическое значение момента инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно стержню.

Сравните полученные экспериментально и теоретически значения моментов инерции цилиндра и стержня. Проанализируйте имеющиеся расхождения.

Таблица 4.

Для цилиндра

Для стержня

J ц0 (э)

J ц0 (э‑с)

J ц0 (т)

J ст0 (э)

J ст0 (э‑с)

J ст0 (т)

Контрольные вопросы для подготовки к работе:

Сформулировать второй закон Ньютона для вращательного движе­ния.

Что называется моментом инерции элементарной массы и твердого тела? Физический смысл момента инерции.

Что называется моментом силы относительно точки и оси вращения? Как определить направление вектора момента сил относительно точки?

Какова должна быть зависимость между угловым ускорением и моментом вращающей силы при постоянном моменте инерции? Как эту зависимость проверить практически?

Как зависит момент инерции тела от распределения в нем массы или распределения массы в системе вращающихся тел? Как убе­диться в этом практически?

Как определить момент инерции крестовины момент инерции вра­щающихся грузов и спиц при отсутствии силы трения?

Контрольные вопросы для сдачи зачета:

Выведите расчетные формулы для всех трех заданий.

Как будут изменяться величины , J и M при неизменном поло­жении грузов на спицах, если

а) увеличить радиуса шкива r 0 при пос­тоянной массе опускающегося груза m 0 ?

б) увеличить m 0 при постоянном r 0 ?

Как изменится момент инерции крестовины с грузами, если их расстояние от оси вращения уменьшить в три раза при неизменном значении m 0 ? Почему?

Чему равен момент инерции простейших тел: стержня, обруча, диска.

Угловая скорость и угловое ускорение тела: определение и смысл этих величин.

УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ

Макаров Игорь Евгеньевич, профессор, д.х.н.

Юрик Тамара Константиновна, доцент, к.х.н.

Изучение законов вращения на маятнике Обербека

(без учета силы трения)

Методические указания к лабораторной работе

Компьютерная верстка Скворцов И.М.

Технический редактор Киреев Д.А.

Ответственный за выпуск Морозов Р.В.

Бумага офсетная. Печать на ризографе.

Усл.печ.л. Тираж экз. Заказ

Информационно-издательский центр МГУДТ

Динамика изучает движение тел с учетом причин, вызывающих это движение.

Основу динамики составляют законы Ньютона.

I закон. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), в которых материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии воздействия на него других тел называется инертностью .

ИСО называют систему отсчета, в которой тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равномерно прямолинейно.

Инерциальной является система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно какой-либо ИСО.

Система отсчета, движущаяся с ускорением относительно ИСО, является неинерциальной.

I закон Ньютона, называемый также законом инерции, был впервые сформулирован Галилеем. Его содержание сводится к 2-м утверждениям:

1) все тела обладают свойством инертности;

2) существуют ИСО.

Принцип относительности Галилея : все механические явления во всех ИСО происходят одинаково, т.е. никакими механическими опытами внутри ИСО невозможно установить, покоится данная ИСО или движется равномерно прямолинейно.

В большинстве практических задач систему отсчета, жестко связанную с Землей, можно считать ИСО.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют свою скорость, т.е. приобретают различные ускорения, ускорение тел зависит от их массы.

Масса - мера инерционных и гравитационных свойств тела. С помощью точных экспериментов установлено, что инертная и гравитационная массы пропорциональны друг другу. Выбирая единицы таким образом, чтобы коэффициент пропорциональности стал равным единице, получим, что m и =m г, поэтому говорят просто о массе тела.

[m]=1кг - масса платино-иридиевого цилиндра, диаметр и высота которого равны h=d=39мм.

Чтобы характеризовать действие одного тела на другое, вводят понятие силы.

Сила - мера взаимодействия тел, в результате которого тела изменяют свою скорость или деформируются.

Сила характеризуется численным значением, направлением, точкой приложения. Прямая, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы . Одновременное действие на тело нескольких сил эквивалентно действию одной силы, называемой равнодействующей или результирующей силой и равной их геометрической сумме:

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется движение тела под действием приложенных к нему сил.

II закон. Ускорение материальной точки прямо пропорционально действующей на нее силе, обратно пропорционально ее массе и совпадает по направлению с действующей силой.

Где - равнодействующая сила.

Силу можно выразить формулой

,

1Н - это сила, под действием которой тело массой 1 кг получает ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.

Второй закон Ньютона можно записать в другом виде, введя понятие импульса:

.

Импульс - векторная величина, численно равная произведению массы тела на его скорость и сонаправленная с вектором скорости.

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Первый закон Ньютона

В кинематике рассматривается описание простейших типов механических движений. При этом не затрагиваются причины вызывающие изменения положения тела относительно других тел, а система отсчета выбирается из соображений удобства при решении той или иной задачи. В принципе, можно взять любую из бесчисленного множества систем отсчета.

Однако, законы механики в различных системах отсчета имеют, строго говоря, различный вид. Возникает задача выбора такой системы отсчета, в которой законы механики были бы возможно более простыми. Такая система отсчета, очевидно, наиболее удобна для описания механических явлений.

Выясним, от чего зависит ускорение частицы в некоторой произвольной системе отсчета. Какова причина этого ускорения? Экспериментально установлено, что этой причиной могут быть как действие на данную частицу каких-то определенных тел, так и свойства самой системы отсчета (см. §1.8 ).

Ньютон предположил, что существует такая система отсчета, в которой ускорение материальной точки обусловлено только взаимодействием ее с другими телами и не зависит от выбора системы отсчета. Материальная точка, не подверженная действию никаких других тел, движется относительно такой системы отсчета прямолинейно и равномерно, или, как говорят, по инерции. Такую систему отсчета называют инерциальной ,

Утверждение, что инерциальные системы отсчета существуют, составляет содержание первого закона классической механики - закона инерции Галилея - Ньютона - таково: существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых при отсутствии воздействия других тел частица сохраняет стационарное состояние движения: движется равномерно и прямолинейно (в частном случае - покоится) .

Инерциальной системой отсчета является гелиоцентрическая система отсчета , начало отсчета которой связана с Солнцем. Системы отсчета, движущиеся равномерно прямолинейно относительно инерциальной системы также являются инерциальными. Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальной системы, являются неинерциальными .

По этим причинам поверхность Земли, строго говоря, является неинерциальной системой отсчета. Однако, во многих задачах, систему отсчета, связанную с Землей, в первом приближении можно считать инерциальной.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему эти системы очень удобны для описания механических движений?
2. 
   Какими факторами определяется значение ускорения в инерциальных системах отсчета?
3. 
   Можно ли считать систему отсчета, связанную с Землей инерциальной?
4. 
   Сформулируйте первый закон Ньютона.

§2.2. Основные законы динамики в инерциальных системах отсчета

Способность тела сохранять состояние равномерного прямолинейного движения или покоя в инерциальных системах отсчета, называется инертностью тела . Мерой инертности тела является масса . Масса величина скалярная, в системе СИ измеряется в килограммах (кг).

Мерой взаимодействия является величина, называемой силой . Сила – величина векторная, в системе СИ измеряется в Ньютонах (Н).

Второй закон Ньютона. В инерциальных системах материальная точка движется с ускорением, если сумма всех сил, действующих на нее не равна нулю, причем произведение массы точки на ее ускорение равно сумме этих сил, т.е.:

Поскольку масса точки величина положительная, то ее вектор ускорения всегда направлен по сумме всех сил, действующих на нее, т.е.
.

При решении задач с применением второго закона Ньютона важно помнить следующее:

• 
  если точка движется по прямой линии, то ее вектор ускорения направлен по движению при ускоренном характере движения, для замедленного характера движения –– против движения;
• 
  если точка движется по окружности ускоренно, то вектор тангенциального ускорения направлен по вектору линейной скорости, при замедленном характере движения –– наоборот. Вектор нормального ускорения направлен к центру вращения.

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению, т.е.:
.

Следует запомнить, что силы, как меры взаимодействия, всегда рождаются парами .

Если тело совершает поступательное движение 1 , то векторы сил, действующих на него, переносят в центр масс этого тела. Это позволяет свести задачу к движению одной материальной точки твердого тела.

Для успешного решения большинства задач с использованием законов Ньютона, необходимо придерживаться некоторой последовательности действий (своего рода алгоритма).

Основные пункты алгоритма.

1. Проанализировать условие задачи и выяснить, с какими телами взаимодействует рассматриваемая материальная точка. Исходя из этого, определить количество сил, действующих на нее. (Допустим, число сил, действующих на тело, равно .) Затем выполнить схематически правильный рисунок, на котором построить все силы, действующие на точку.

2. Используя условие задачи, определить направление ускорения рассматриваемой точки, и изобразить вектор ускорения на рисунке.

3. Записать в векторной форме второй закон Ньютона, т.е.:

где
силы, действующие на точку.

4. Выбрать инерциальную систему отсчета. Изобразить на рисунке прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой обычно направляют по вектору ускорения, ось ОY и ОZ направить перпендикулярно оси ОХ.

5. Воспользовавшись основным свойством векторных равенств, записать второй закон Ньютона для проекций векторов на оси координат, т.е.:

(2.3)

6. Если в задаче кроме сил и ускорений требуется определить координаты и скорость, то кроме второго закона Ньютона необходимо использовать и кинематические уравнения движения. Записав систему уравнений, необходимо обратить внимание на то, чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных в данной задаче.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Дайте определение силы. В каких единицах в системе СИ измеряется величина силы?
2. 
   Что такое свойство инертности тела? Какая физическая величина является мерой инертности тела? В каких единицах в системе СИ измеряется масса тел?
3. 
   Дайте формулировку второго закона Ньютона для инерциальных систем отсчета.
4. 
   Дайте формулировку третьего закона Ньютона.

Примеры решения задач

Пример 1. В кабине лифта на динамометре висит груз массой
. Динамометр показывает силу
. Определить ускорение груза. Можно ли ответить на вопрос, в каком направлении движется груз?

Решение. На тело, движущееся с ускорением , действуют два тела: Земля с силой тяжести
и пружина с силой . Изобразим силы на рисунке. Предположим, что вектор ускорения лифта направлен вверх. Изобразим вектор на рисунке. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

Выбираем ось ОХ по направлению ускорения. Записываем второй закон Ньютона для проекций векторов на эту ось:

Из данного равенства находим проекцию ускорения на ось ОХ:

.

Так как проекция ускорения на ось ОХ положительная, то предположение о том, что вектор ускорения лифта направлен вертикально вверх, соответствует действительности. Определить направление движения лифта не представляется возможным, так как указанному направлению вектора ускорения соответствует два типа движения: а) равноускоренное движение вертикально вверх; б) равнозамедленное движение вертикально вниз.

Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета. Силы инерции.

2 Рассмотрим неинерциальную систему отсчета
, вращающуюся с постоянной угловой скоростью
вокруг оси, перемещающейся поступательно со скоростью относительно инерциальной
системы.

В этом случае ускорение точки в инерциальной системе () связано с ускорением в неинерциальной системе () соотношением (см §1.8):

где – ускорение неинерциальной системы относительно инерциальной системы
,
линейная скорость точки в неинерциальной системе.

Из последнего соотношения вместо ускорения подставим в равенство (1), получим выражение:

Это соотношение является вторым законом Ньютона для неинерциальной системы отсчета.

Силы инерции. Введем условные обозначения:

1.
– поступательная сила инерции ;

2.
– сила Кориолиса ;

3
– центробежная сила инерции .

В задачах поступательная сила инерции изображается против вектора ускорения поступательного движения неинерциальной системы отсчета (), центробежная сила инерции –– от центра вращения по радиусу (); направление силы Кориолиса определяется по правилу буравчика для векторного произведения векторов
.

Строго говоря, силы инерции не являются в полном смысле, силами, т.к. для них не выполняется третий закон Ньютона, т.е. они не являются парными и возникают только при переходе от инерциальных систем отсчета к неинерциальным системам.

Вопросы для самоконтроля

§2.4. Силы в механике

В механике рассматривают одну бесконтактную дальнодействующую силу – силу всемирного тяготения , которая может действовать на рассматриваемое тело на большом расстоянии (например, Земля притягивает Луну), и пять контактных сил: силу упругости , силу реакции, вес тела, силу упругости, силу трения и силу сопротивления .

§2.5. Сила всемирного тяготения. Сила тяжести.

Ускорение свободного падения.

Сила всемирного тяготения возникает в процессе взаимодействия между телами, обладающими массами, и вычисляется из соотношения:

.
. (2.6)

получил название гравитационной постоянной . Его величина в системе СИ равна
.

Силы взаимного притяжения направлены вдоль одной прямой, соединяющей эти материальные точки. Закон всемирного тяготения справедлив для тел, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если размеры тел сравнимы с расстоянием между ними, то, для вычисления силы взаимодействия между ними, поступают следующим образом.

Каждое из тел разбивают на бесконечно малые части, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Далее вычисляют силы взаимодействия каждой части одного тела с каждой частью другого тела. Полная сила взаимного притяжения равна сумме сил, действующих со стороны всех элементов одного тела на все элементы другого тела.

Проведя такие рассуждения для однородных шаров, можно показать, что результирующая сила притяжения вычисляется по формуле, приведенной ранее. В этом случае, берется масса шаров, а в качестве расстояния берется расстояние между центрами шаров.

Для тела, взаимодействующего с планетой, в качестве расстояния берется расстояние от центра планеты до центра масс тела. Приведем формулу для силы притяжения тел к планетам:

. (2.7)

Обычно, силу притяжения тела к планете называют силой тяжести, величину которой принято вычислять по формуле
, где
масса тела,
модуль вектора ускорения свободного падения. Сила тяжести направлена к центру Земли, приложена к центру тяжести тела.

Соотношение (2.7), позволяет установить связь величины ускорения свободного падения с массой планеты, ее радиусом и высотой от рассматриваемой точки до поверхности планеты:

. (2.8)

На поверхности планеты, т.е. когда
, для ускорения свободного падения справедлива формула

. (2.9)

Вопросы для самоконтроля

1. 
   По какому соотношению вычисляется величина силы всемирного тяготения?
2. 
   Дайте определение силы тяжести.
3. 
   Отчего зависит ускорение свободного падения тел?

Сила реакции. Вес тела.

Силы реакции возникают при взаимодействии тела с различными конструкциями, ограничивающими его положение в пространстве. Например, на тело, подвешенное на нити, действует сила реакции, называемая обычно силой натяжения. Сила натяжения нити направлена всегда вдоль нити. Формулы для вычисления ее величины нет. Обычно величину ее находят либо из первого, либо из второго закона Ньютона.

К силам реакции также относят силы, действующие на частицу на гладкой поверхности. Ее называют нормальной силой реакции , обозначают . Сила реакции всегда направлена перпендикулярно рассматриваемой поверхности . Со стороны тела на гладкую поверхность действует сила, называемая силой нормального давления (
). По третьему закону Ньютона, сила реакции равна по величине силе нормального давления, но векторы этих сил противоположны по направлению.

Вес тела – это сила, с которой тело, вследствие притяжения Земли, давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес.

Если весы движутся с ускорением, то вес может быть и больше, и меньше силы тяжести.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Какие силы принято называть силами реакций?
2. 
   Дайте определение веса тела.
3. 
   В каких случаях вес тела и сила тяжести совпадают?

Примеры решения задач

Пример 5 . Определить вес мальчика массой
в лифте, движущемся вертикально вверх с ускорением
. Во сколько раз вес мальчика отличается от силы тяжести?

Решение. На мальчика в лифте действуют два тела: а) Земля с силой тяжести ; б) пол лифта с силой реакции
. Изобразим эти силы на рисунке. Покажем на этом рисунке направление вектора ускорения лифта. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

.

В качестве инерциальной системы отсчета выбираем поверхность Земли, ось ОХ направим по вектору ускорения лифта. Запишем второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

Из данного уравнения находим величину силы реакции:

.

Подставляя цифровые данные в системе СИ, находим силу реакции:

По определению, вес численно равен силе реакции, т.е.
.

Найдем, во сколько раз отличается вес от силы тяжести мальчика:

.

Сила упругости.

Силы упругости возникают в телах в том случае, если тела деформированы, т.е. если изменена форма тела или его объем. При прекращении деформации силы упругости исчезают. Следует заметить, что, хотя силы упругости возникают при деформациях тел, не всегда деформация приводит к возникновению сил упругости.

Силы упругости возникают в телах, способных восстанавливать свою форму после прекращения внешнего воздействия. Такие тела, и соответствующие им деформации, называются упругими . При пластической деформации изменения полностью не исчезают после прекращения внешнего воздействия.

Ярким примером проявления сил упругости могут служить силы, возникающие в пружинах, подверженных деформации. Для упругих деформаций, возникающих в деформированных телах, сила упругости всегда пропорциональна величине деформации, т.е.:

, (5)

где
коэффициент упругости (или жесткости) пружины,
вектор деформации пружины.

Данное утверждение получило название закона Гука.

Чем больше жесткость тела, тем меньше оно деформируется при заданной силе. Величина определяется геометрическими размерами тела и материалом, из которого оно изготовлено. Если форма тела (стержня, пружины или резинового жгута) начинает существенно меняться, то пропорциональность между
и
нарушается (см. рис. 2.2).

Сила упругости направлена вдоль нити, стержня или пружины. Сила приложена в точке контакта.

Нить – модель тела с нулевой массой и с выделенной осью, которое способно изгибаться под бесконечно малой нагрузкой. Поэтому, ее можно перебросить через блок, и сила натяжения будет везде одинакова.

Пружина – модель тела (обычно с нулевой массой), которое действует на рассматриваемое тело не только в растянутом, но и в сжатом состоянии. Причем закон Гука выполняется для пружины не только при растяжении, но и при сжатии.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Какие силы принято называть силами упругости?
2. 
   Какие деформации называются упругими, а какие пластическими?
3. 
   Сформулируйте закон Гука и укажите границы применимости закона Гука.

Примеры решения задач

Пример 6 . Через легкий вращающийся без трения блок перекинута нить. На одном конце нити находится тело массой
, на другом - тело массой
. Определить величину силы натяжения нити и величину ускорения тел.

Решение. Изобразим все силы, действующие на тела и на блок. Рассмотрим процесс движения тел, связанных нитью, перекинутой через блок. Нить является невесомой и нерастяжимой, следовательно, величина силы натяжения на любом участке нити будет одинаковой, т.е.
и
.

Перемещения тел за любые промежутки времени будут одинаковыми, и, следовательно, в любой момент времени одинаковыми будут величины скоростей и ускорений этих тел.

Из того, что блок вращается без трения и является невесомым, следует, что сила натяжения нити по обе стороны блока будет одинаковой, т.е.:
.

Отсюда вытекает равенство сил натяжения нити, действующей на первое и второе тело, т.е.
.

Изобразим на рисунке векторы ускорений первого и второго тела. Изобразим две оси ОХ. Первую ось направим вдоль вектора ускорения первого тела, вторую - вдоль вектора ускорения второго тела.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на эти оси координат:

Учитывая, что
, и выразив из первого уравнения , подставим во второе уравнение, получим

Из последнего равенства находим величину ускорения:

.

Из равенства (1) находим величину силы натяжения:

Сила трения. Закон сухого трения.

При соприкосновении тел, между ними наблюдается взаимодействие. Силу, характеризующую это взаимодействие, называют силой реакции поверхности, обозначают , и представляют в виде суммы сил, составляющих ее:
, где
– сила нормальной реакции поверхности , направленная перпендикулярно этой поверхности,
– сила трения , направленная вдоль этой поверхности.

При контакте гладких поверхностей
и
. Простейшее соотношение между модулями сил, составляющих силу реакции поверхности, формулируется в виде закона сухого трения:

1. 
   При скольжении модуль силы трения прямо пропорционален модулю силы нормальной реакции:

.

Коэффициент пропорциональности – коэффициент трения скольжения не зависит ни от площади соприкасающихся поверхностей, ни от скорости их относительного движения.

1. 
   Если скольжение не происходит, то максимально возможное значение силы трения покоя равно значению силы трения скольжения:

.

Значение и направление силы трения покоя определяется из условия неподвижности тела относительно опоры.

При постепенном увеличении (со временем) силы , приложенной вдоль трущихся поверхностей, происходит аналогичный рост силы трения покоя (рис. 2.3). Силы, действующие вдоль поверхности, скомпенсированы, поэтому тело покоится.

Когда модуль силы достигнет значения
, модуль силы трения покоя достигает своего максимального значения, а затем сила трения уже не уравновешивает внешнюю силу , и тело начинает скользить, разгоняясь (рис. 2.3).

Вопросы для самоконтроля

Примеры решения задач

Пример 9 . На наклонной плоскости с углом наклона
находится тело массой
. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью равен
. К телу прикладывают силу, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Какова должна быть величина этой силы, чтобы тело двигалось вверх по наклонной плоскости с ускорением?

Решение. На тело, движущееся вверх вдоль наклонной плоскости, действуют внешние тела: а) Земля с силой тяжести , направленной вертикально вниз; б) наклонная плоскость с силой реакции , направленной перпендикулярно наклонной плоскости; в) наклонная плоскость с силой трения
, направленной против движения тела; г) внешнее тело с силой , направленной вверх вдоль наклонной плоскости.

Под действием этих сил тело движется равноускоренно вверх по наклонной плоскости, и, следовательно, вектор ускорения направлен по перемещению тела.

Изобразим вектор ускорения на рисунке. Запишем второй закон Ньютона в векторной виде:

Выберем прямоугольную декартову систему координат, ось ОХ которой направим по ускорению движения тела, а ось OY - перпендикулярно наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси координат, получим следующие уравнения:

Сила трения скольжения связана с силой реакции следующим соотношением:

. (3)

Из равенства (2) находим величину силы реакции и подставляем в равенство (3), имеем следующее выражение для силы трения:

. (4)

Подставим в равенство (1) вместо силы трения правую часть равенства (4), получим следующее уравнение для вычисления величины искомой силы:

Вычислим величину силы
:

Сила сопротивления.

При движении тел в жидкостях и газах возникают так же силы трения, но они существенно отличаются от сил сухого трения. Эти силы называются силами вязкого трения , или силы сопротивления . Силы вязкого трения возникают только при относительном движении тел. Силы сопротивления зависят от многих факторов, а именно: от размеров и формы тел, от свойств среды (плотности, вязкости), от скорости относительного движения. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорционально зависит от скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (2.11)

где
– вектор скорости движения теля относительно среды.

При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости движения тела относительно среды, т.е.:

, (2.12)

где
некоторые коэффициенты пропорциональности, называемые коэффициентами сопротивления .

Вопросы для самоконтроля

1. 
   При каких условиях возникает сила сопротивления?
2. 
   По какой формуле вычисляется сила трения для малых скоростей движения?
3. 
   По какой формуле вычисляется сила трения при большой скорости движения?

Основное уравнение динамики

Основное уравнение динамики материальной точки представляет собой не что иное, как математическое выражение второго закона Ньютона:

. (2.13)

В прямоугольной декартовой системе координат основное уравнения динамики в проекциях на оси координат имеет вид:

(2.14)

В инерциальной системе отсчета в сумму всех сил входят только силы, являющиеся мерами взаимодействий, в неинерциальных системах в сумму сил входят силы инерции.

С математической точки зрения соотношение (9) представляет собой дифференциальное уравнение движения точки в векторном виде. Его решение является основной задачей динамики материальной точки.

Вопросы для самоконтроля

1. 
   Какое соотношение является основным уравнением динамики?
2. 
   Как выглядят уравнения динамики в прямоугольной декартовой системе координат?

Примеры решения задач

Пример 1 . , получим искомую зависимость скорости от времени:

1 Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с телом, перемещается параллельно самой себе..

2 Материал для дополнительного изучения

*Задача повышенной сложности